二叉树 TODO

知识点

二叉树遍历

二叉树的遍历方式，以访问根节点的顺序不同，有3种分别为：

  • 前序遍历：根节点 --> 左子树 --> 右子树

  • 中序遍历：左子树 --> 根节点 --> 右子树

  • 后序遍历：左子树 --> 右子树 --> 根节点

左子树都是优先右子树

在解释具体的遍历方式前，我们先定义树的结构

class TreeNode:
    def __init__(self, val, left: TreeNode, right: TreeNode):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

前序递归

def pre_order_traversal(root: TreeNode):
    if root == null:
        return

    # 根节点 --> 左子树  --> 右子树
    print(root.val)
    preorder_traversal(root.left)
    preorder_traversal(root.right)

前序非递归

def pre_order_traversal(root: TreeNode) -> list[int]:

    if not root:
        return None

    result = list()
    stack = list()

    while True:
        while True:
            result.append(root.val)
            stack.append(root)

            if root.left:
                root = root.left
            else:
                break
        node = result.pop()

        if node.right:
            root = node.right
        else:
            break
    }

    return result

中序非递归

def in_order_traversal(root: TreeNode) -> list[int]:

    result = []
    stack = []

    if root is None:
        return result

    while stack or root:

        while root:
            stack.append(root)
            root = root.left

        root = stack.pop()
        result.append(root.val)

        root = root.right

    return result

后序非递归

def post_order_traversal(root: TreeNode) -> list[int]: 

    stack = []
    result = []

    last_visit = None

    if root is None:
        return result

    while stack or root:

        while root:
            stack.append(root)
            root = root.left

        node = stack[-1]
        if node.right is None or node.right == last_visit:
            node = stack.pop()
            result.append(root.val)
            last_visit = node
        else:
            root = node.right

    return result
}

核心：根节点必须在右节点弹出之后，再弹出

DFS 深度搜索-从上到下

def pre_order_traversal(root: TreeNode) -> list[int]:
    result = []
    dfs(root, result)
    return result


def dfs(root: TreeNode, result: list[int]) {
    if root is None:
        return

    result = result.append(root.val)
    dfs(root.left, result)
    dfs(root.right, result)
}

DFS 深度搜索-从下向上（分治法）

def pre_order_traversal(root: TreeNode) -> list[int]:
    result = divide_and_conquer(root)
    return result


def divide_and_conquer(root: TreeNode) -> list[int]:
    result = []

    if root is None:
        return result

    # divide
    left_result = divide_and_conquer(root.left)
    right_result = divide_and_conquer(root.right)

    # conquer
    result.append(root.val)
    result.extend(left_result)
    result.extend(right_result)

    return result

DFS 两种实现方式区别

  • 从上到下, 一般将最终结果通过指针参数传入

  • 分治法, 一般递归返回结果最后合并

BFS 层次遍历

def level_order(root: TreeNode) -> list[int]:

    result = []
    if root is None: 
        return result

    queue = [root]

    while len(queue) > 0:

        level_values = []
        level_len = len(queue)

        for i in range(level_len):

            node = queue.pop()
            level_values.append(node.val)

            if node.left:
                queue.append(node.left)
            if level.right:
                queue.append(node.right)

        result.extend(level_values)

    return result

分治法应用

先分别处理局部，再合并结果

适用场景

  • 快速排序

  • 归并排序

  • 二叉树相关问题

分治法模板

  • 递归返回条件

  • 分段处理

  • 合并结果

def traversal(root: TreeNode) -> ResultType:

    if root is None:
        # do something 
        return result
    else:

        # Divide
        ResultType left = traversal(root.left)
        ResultType right = traversal(root.right)

        # Conquer
        ResultType result = Merge from left and right

        return result
}

典型示例

# 通过分治法遍历二叉树

def pre_order_traversal(root: TreeNode) -> list[int]: 
    result = divide_and_conquer(root)
    return result

def divide_and_conquer(root: TreeNode) list[int]: 
    result = []

    if root is None:
        return result

    # Divide
    left_result = divide_and_conquer(root.left)
    right_result = divide_and_conquer(root.right)

    # Conquer
    result.append(root.val)
    result.extend(left_result)
    result.extend(right_result)

    return result
}

归并排序

def merge(nums: list[int]) -> list[int]:
    return merge_sort(nums)

def merge_sort(nums: list[int]) -> list[int]: 

    if len(nums) <= 1:
        return nums

    # 分治法：divide 分为两段
    mid = len(nums) // 2
    left = merge_sort(nums[:mid])
    right = merge_sort(nums[mid:])

    # 合并两段数据
    result = merge_ordered_arrays(left, right)
    return result

def merge_ordered_arrays(left: list[int], right: list[int]) -> list[int]:

    while left and right:

        if left[0] > right[0] {
            result.append(right.pop())
        } else {
            result.append(left.pop())
        }
    }

    # 剩余部分合并
    result.extend(left)
    result.extend(right)
    return
}

递归需要返回结果用于合并

快速排序

def quick_sort(nums list[int]) -> list[int]:

    # 思路：把一个数组分为左右两段，左段小于右段，类似分治法没有合并过程
    quick_sort_detail(nums, 0, len(nums)-1)
    return nums



def quick_sort_detail(nums: list[int], start: int, end: int):
    # 原地交换，传入开始、结束交换索引范围

    if start < end:
        # 分治法：divide
        pivot = partition(nums, start, end)
        quick_sort_detail(nums, 0, pivot-1)
        quick_sort_detail(nums, pivot+1, end)

def partition(nums list[int], start: int, end: int) -> int:
    p = nums[end]

    # i: 下标小于等于 i 的部分都小于 p, 下标 i+1 对应元素大于等于 p 
    # j: 目的是找到下一个小于 p 的元素, 交换(i+1, j)使得, 下标小于等于i+1的部分都小于p

    i = start - 1
    for j in range(end):
        if nums[j] < p:
            i = i + 1
            swap(nums, i, j)

    i = i + 1
    swap(nums, i + 1, end)

    return i


def swap(nums: list[int], i: int, j: int):
    t = nums[i]
    nums[i] = nums[j]
    nums[j] = t

快排由于是原地交换所以没有合并过程 传入的索引是存在的索引（如：0、length-1 等），越界可能导致崩溃 核心进行partition, 分成左右两部分

常见题目示例

maximum-depth-of-binary-tree

给定一个二叉树，找出其最大深度。

思路

  • 分治法

    • 左边深度

    • 右边深度

    • 左右深度最大值 + 1

# CPU: 56ms, 33.09%, MEMARY:16.5M, 62.92% 
class Solution:
    def maxDepth(self, root: TreeNode) -> int:

        if not root or root.val is None:
            return 0
        else:
            left_depth = self.maxDepth(root.left) if root.left else 0
            right_depth = self.maxDepth(root.right) if root.right else 0

            return max(left_depth, right_depth) + 1

balanced-binary-tree

给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。

高度平衡的二叉树: 一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。

思路

  • 分治法, 需要同时满足以下条件

    • 左边高度平衡

    • 右边高度平衡

    • 左右两边高度 <= 1

  • 需要返回是否平衡及高度（二义性：一个变量有两种含义）

    • -1: 不平衡

    • > 0: 树高度

# CPU: 48ms, 98.34%, MEMARY:18.6M, 83.51% 
class Solution:

    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        return self.max_depth(root) != -1

    def max_depth(self, root: TreeNode) -> int:

        if root is None:
            return 0
        else:
            left = self.max_depth(root.left)
            right = self.max_depth(root.right)

        if left == -1 or right == -1 or abs(left-right) > 1:
            return -1
        else:
            return left + 1 if left > right else right + 1

注意

一般工程中, 不建议用一个变量表示两种含义

binary-tree-maximum-path-sum

给定一个非空二叉树，返回其最大路径和。

路径 被定义为一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列。同一个节点在一条路径序列中至多出现一次 。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。

路径和 是路径中各节点值的总和。

思路 分治法，分为三种情况：

  1. 左子树最大路径和最大

  2. 右子树最大路径和最大

  3. 左右子树最大贡献加根节点最大

需要保存两个变量

  • 最大路径和：max_path

    • 不包含, max(左、右最大路径)

    • 包含value, max(左+右节点最大贡献, 左节点最大贡献, 右节点最大贡献, 0) + value

  • 当前节点对父节点最大贡献: max_gain

    • 不包含, 0

    • 包含节点, max(左、右节点最大贡献, 0) + value

  • 当节点为空时

    • 最大路径应该, 很小的负数, 不然上层节点值为负时, 最大路径可能选择错误

然后比较这个两个变量选择最大值即可

# CPU: 100ms, 54.72%, MEMARY:21.6M, 91.23% 

class Solution:
    def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:

        return self.divide(root)[0]


    def divide(self, root: TreeNode) -> tuple:

        # return: max_path, max_gain
        # max_path: 当前子树下的最大路径和
        #           最大路径: 不包含当前节点, 左右子树中的最大路径; 或者包含当前节点, 左右子树有可能贡献
        #           max_path = max(righ_max_path, left_max_path, max(right_gain, left_gain, right_gain + left_gain, 0) + value)
        # max_gain: 当前节点, 作为子节点可以提供的贡献
        #           当前节点的贡献:自身+左右其中之一, 或者贡献为0 
        #           max_gain = max(max(right_gain, left_gain, 0) + value, 0)

        if root is None: 
            return -(1 << 31), 0
        else:

            left_max_path, left_max_gain = self.divide(root.left)
            right_max_path, right_max_gain = self.divide(root.right)

            max_gain = max(max(left_max_gain, right_max_gain, 0) + root.val, 0)
            max_path = max(max(left_max_path, right_max_path), max(left_max_gain, right_max_gain, left_max_gain + right_max_gain, 0) + root.val)

            return max_path, max_gain

lowest-common-ancestor-of-a-binary-tree

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

最近公共祖先, 对于有根树 T 的两个节点 p、q，最近公共祖先表示为一个节点 x，满足

  • x 是 p、q 的祖先

  • 且 x 的深度尽可能大

注, 一个节点也可以是它自己的祖先

思路

分治法

  1. root 为空, 此时公共祖先不存在

  2. root 不为空, p, q 一定在为子树

    • p 或 q == root, 则其最近公共祖先为必须包含root, 有可能p或q不在root下

    • p, q均不等于root

      • 分治

        • common_left = divide(root.left, p, q)

        • common_right = divide(root.right, p, q)

      • 合并

        • common_left, common_right 都不为空, 返回root

          • 一个分支==p

          • 另一个分支==q

        • common_left, common_right 有一个不为空, 则说明p, q在其内部, 直接作为最终结果

  3. 有左子树的公共祖先或者有右子树的公共祖先，就返回子树的祖先，否则返回根节点

# CPU: 80ms, 69%, MEMARY:25.7M, 34% 

class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':

        if root == None:
            return root
        elif root in (p, q):
            return root
        else:
            ancestor_left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
            ancestor_right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)

            if ancestor_left and ancestor_right:
                return root
            else:
                return ancestor_left or ancestor_right

BFS 层次应用

binary-tree-level-order-traversal

binary-tree-level-order-traversal

给你一个二叉树，请你返回其按 层序遍历 得到的节点值。 （即逐层地，从左到右访问所有节点）

思路：用一个队列记录一层的元素，然后扫描这一层元素添加下一层元素到队列（一个数进去出来一次，所以复杂度 O(logN)）

func levelOrder(root *TreeNode) [][]int {
    result := make([][]int, 0)
    if root == nil {
        return result
    }
    queue := make([]*TreeNode, 0)
    queue = append(queue, root)
    for len(queue) > 0 {
        list := make([]int, 0)
        // 为什么要取length？
        // 记录当前层有多少元素（遍历当前层，再添加下一层）
        l := len(queue)
        for i := 0; i < l; i++ {
            // 出队列
            level := queue[0]
            queue = queue[1:]
            list = append(list, level.Val)
            if level.Left != nil {
                queue = append(queue, level.Left)
            }
            if level.Right != nil {
                queue = append(queue, level.Right)
            }
        }
        result = append(result, list)
    }
    return result
}

binary-tree-level-order-traversal-ii

binary-tree-level-order-traversal-ii

给定一个二叉树，返回其节点值自底向上的层次遍历。 （即按从叶子节点所在层到根节点所在的层，逐层从左向右遍历）

思路：在层级遍历的基础上，翻转一下结果即可

func levelOrderBottom(root *TreeNode) [][]int {
    result := levelOrder(root)
    // 翻转结果
    reverse(result)
    return result
}
func reverse(nums [][]int) {
    for i, j := 0, len(nums)-1; i < j; i, j = i+1, j-1 {
        nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
    }
}
func levelOrder(root *TreeNode) [][]int {
    result := make([][]int, 0)
    if root == nil {
        return result
    }
    queue := make([]*TreeNode, 0)
    queue = append(queue, root)
    for len(queue) > 0 {
        list := make([]int, 0)
        // 为什么要取length？
        // 记录当前层有多少元素（遍历当前层，再添加下一层）
        l := len(queue)
        for i := 0; i < l; i++ {
            // 出队列
            level := queue[0]
            queue = queue[1:]
            list = append(list, level.Val)
            if level.Left != nil {
                queue = append(queue, level.Left)
            }
            if level.Right != nil {
                queue = append(queue, level.Right)
            }
        }
        result = append(result, list)
    }
    return result
}

binary-tree-zigzag-level-order-traversal

binary-tree-zigzag-level-order-traversal

给定一个二叉树，返回其节点值的锯齿形层次遍历。Z 字形遍历

func zigzagLevelOrder(root *TreeNode) [][]int {
    result := make([][]int, 0)
    if root == nil {
        return result
    }
    queue := make([]*TreeNode, 0)
    queue = append(queue, root)
    toggle := false
    for len(queue) > 0 {
        list := make([]int, 0)
        // 记录当前层有多少元素（遍历当前层，再添加下一层）
        l := len(queue)
        for i := 0; i < l; i++ {
            // 出队列
            level := queue[0]
            queue = queue[1:]
            list = append(list, level.Val)
            if level.Left != nil {
                queue = append(queue, level.Left)
            }
            if level.Right != nil {
                queue = append(queue, level.Right)
            }
        }
        if toggle {
            reverse(list)
        }
        result = append(result, list)
        toggle = !toggle
    }
    return result
}
func reverse(nums []int) {
    for i := 0; i < len(nums)/2; i++ {
        nums[i], nums[len(nums)-1-i] = nums[len(nums)-1-i], nums[i]
    }
}

二叉搜索树应用

validate-binary-search-tree

validate-binary-search-tree

给定一个二叉树，判断其是否是一个有效的二叉搜索树。

思路 1：中序遍历，检查结果列表是否已经有序

思路 2：分治法，判断左 MAX < 根 < 右 MIN

// v1
func isValidBST(root *TreeNode) bool {
    result := make([]int, 0)
    inOrder(root, &result)
    // check order
    for i := 0; i < len(result) - 1; i++{
        if result[i] >= result[i+1] {
            return false
        }
    }
    return true
}

func inOrder(root *TreeNode, result *[]int)  {
    if root == nil{
        return
    }
    inOrder(root.Left, result)
    *result = append(*result, root.Val)
    inOrder(root.Right, result)
}
// v2分治法
type ResultType struct {
    IsValid bool
    // 记录左右两边最大最小值，和根节点进行比较
    Max     *TreeNode
    Min     *TreeNode
}

func isValidBST2(root *TreeNode) bool {
    result := helper(root)
    return result.IsValid
}
func helper(root *TreeNode) ResultType {
    result := ResultType{}
    // check
    if root == nil {
        result.IsValid = true
        return result
    }

    left := helper(root.Left)
    right := helper(root.Right)

    if !left.IsValid || !right.IsValid {
        result.IsValid = false
        return result
    }
    if left.Max != nil && left.Max.Val >= root.Val {
        result.IsValid = false
        return result
    }
    if right.Min != nil && right.Min.Val <= root.Val {
        result.IsValid = false
        return result
    }

    result.IsValid = true
    // 如果左边还有更小的3，就用更小的节点，不用4
    //  5
    // / \
    // 1   4
    //      / \
    //     3   6
    result.Min = root
    if left.Min != nil {
        result.Min = left.Min
    }
    result.Max = root
    if right.Max != nil {
        result.Max = right.Max
    }
    return result
}

insert-into-a-binary-search-tree

insert-into-a-binary-search-tree

给定二叉搜索树（BST）的根节点和要插入树中的值，将值插入二叉搜索树。 返回插入后二叉搜索树的根节点。

思路：找到最后一个叶子节点满足插入条件即可

// DFS查找插入位置
func insertIntoBST(root *TreeNode, val int) *TreeNode {
    if root == nil {
        root = &TreeNode{Val: val}
        return root
    }
    if root.Val > val {
        root.Left = insertIntoBST(root.Left, val)
    } else {
        root.Right = insertIntoBST(root.Right, val)
    }
    return root
}

总结

  • 掌握二叉树递归与非递归遍历

  • 理解 DFS 前序遍历与分治法

  • 理解 BFS 层次遍历

练习

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